Magic Squaresproof atlas

О проекте

Исследование магических квадратов 3×3

Проект посвящён арифметической и алгебраической структуре магических квадратов 3×3. Центральная открытая задача — существование магического квадрата из девяти положительных попарно различных полных квадратов; частичные задачи k/9, конгруумы и алгебра магических матриц рассматриваются как связанные направления одного исследования.

1. Постановка задачи

1.1. Магический квадрат

Магическим квадратом порядка n называется квадратная таблица из n² чисел, в которой суммы элементов каждой строки, каждого столбца и двух диагоналей, соединяющих противоположные углы, равны одному и тому же числу M — магической константе. Само определение не требует, чтобы элементы были различны; это условие вводится отдельно там, где оно необходимо.

∑j=1naij=M (1≤i≤n),∑i=1naij=M (1≤j≤n),∑i=1naii=∑i=1nai,n+1−i=M.\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=M\ (1\le i\le n),\qquad \sum_{i=1}^{n}a_{ij}=M\ (1\le j\le n),\qquad \sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\sum_{i=1}^{n}a_{i,n+1-i}=M.

Магический квадрат порядка 3 состоит из девяти чисел. В явной форме условие означает равенство восьми сумм: трёх строк, трёх столбцов и двух диагоналей.

(abcdefghj),a+b+c=d+e+f=g+h+j=M,a+d+g=b+e+h=c+f+j=M,a+e+j=c+e+g=M.\begin{gathered} \begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&j\end{pmatrix},\\[3pt] a+b+c=d+e+f=g+h+j=M,\\ a+d+g=b+e+h=c+f+j=M,\\ a+e+j=c+e+g=M. \end{gathered}

1.2. Квадратный квадрат и сильная задача 9/9

Квадратным квадратом в этом проекте называется целочисленный магический квадрат порядка 3, все девять элементов которого являются положительными попарно различными полными квадратами. Иными словами, каждая клетка имеет вид q² для положительного целого q, и никакие две клетки не равны.

aij=qij 2,qij∈Z>0,(i,j)≠(k,ℓ) ⟹ qij 2≠qkℓ 2.a_{ij}=q_{ij}^{\,2},\qquad q_{ij}\in\mathbb Z_{>0},\qquad (i,j)\ne(k,\ell)\ \Longrightarrow\ q_{ij}^{\,2}\ne q_{k\ell}^{\,2}.

Сильная задача 9/9 состоит в том, чтобы построить такой квадрат либо доказать, что он не существует. Она остаётся открытой.

1.3. Слабая задача 7/9

Квадратом k/9 в этой задаче называется целочисленный магический квадрат порядка 3 с попарно различными элементами, в котором не менее k клеток являются положительными полными квадратами. На остальные клетки не накладывается условие быть или не быть квадратами. Поэтому решение 8/9 или 9/9 автоматически является решением задачи 7/9.

Известен один класс квадратов 7/9; существуют ли другие, неизвестно.

Представителем известного класса является квадрат Бремнера—Сэллоуза:

B=(5652289237322324252137⋅2633151⋅147152722052).\mathcal B=\begin{pmatrix} 565^2&289^2&373^2\\ 23^2&425^2&137\cdot2633\\ 151\cdot1471&527^2&205^2 \end{pmatrix}.

Обозначим суммы строк через Rᵢ, столбцов через Cᵢ, а двух диагоналей через D₁ и D₂. Тогда точный сертификат магичности имеет вид ниже. Семь указанных корней попарно различны, а две оставшиеся клетки не являются квадратами:

R1=R2=R3=C1=C2=C3=D1=D2=541875,R_1=R_2=R_3=C_1=C_2=C_3=D_1=D_2=541875,6002<137⋅2633=360721<6012,4712<151⋅1471=222121<4722.600^2<137\cdot2633=360721<601^2,\qquad 471^2<151\cdot1471=222121<472^2.

Повороты, отражения и общее умножение всех клеток на один и тот же положительный полный квадрат дают лишь тривиально эквивалентные варианты и не считаются новым решением.

Между постановками есть точные логические импликации. Любой квадрат 9/9 был бы новым решением 7/9. Доказательство единственности известного класса 7/9 исключило бы также 8/9 и 9/9, тогда как доказательство несуществования 9/9 само по себе не решило бы задачу единственности 7/9.

2. Область исследования

Задачи 9/9 и 7/9 задают основную цель, но не исчерпывают проект. Мы изучаем, какие наборы клеток магического квадрата могут одновременно быть полными квадратами, строим параметрические семейства таких квадратов, исследуем ограничения делимости и представления чисел суммами квадратов, а также рассматриваем обычное матричное умножение магических и полумагических квадратов.

Обозначение k/9 означает, что выбранные k клеток гарантированно являются квадратами; остальные клетки также могут случайно оказаться квадратами. Два расположения выбранных клеток считаются одинаковыми, если одно получается из другого поворотом или отражением всего квадрата.

3. Основные результаты

Ниже перечислены основные результаты проекта. Для каждого результата указаны точный объём доказанного утверждения, его ограничения и ссылки на подробный вывод.

3.1. Полное покрытие позиционных типов 5/9

Для каждого из 23 существенно различных расположений пяти квадратных клеток построено явное невырожденное параметрическое семейство целочисленных магических квадратов. Поэтому ни один позиционный тип 5/9 не остаётся без конструкции. Под невырожденностью здесь понимаются положительность и попарная различность всех девяти элементов хотя бы для допустимых значений параметров семейства.

Для каждой выписанной формулы отдельно указана покрываемая часть рациональных решений. В маске ABCDG одна полиномиальная формула также покрывает лишь подсемейство, однако отдельный алгоритм по коническому расслоению перечисляет уже все рациональные решения и имеет явный обратный ход. Поэтому полноту формулы и полноту эффективного алгоритма следует различать.

3.2. Продвижение для 6/9

Все 16 позиционных типов 6/9 имеют точные системы уравнений, отдельные статьи, бесконечные рациональные семейства и положительные специализации ровно 6/9. Для двух параллельных типов доказана полная tfmn-классификация всех невырожденных рациональных решений. Четырнадцать непараллельных типов сведены к выбранным расслоениям рода 1 и моделям эллиптических K3-поверхностей; предъявленные неторсионные секции дают бесконечные семейства. Для большинства этих K3 точный геометрический ранг и полнота выбранной рациональной карты не установлены.

Бремнер представил все шестнадцать конфигураций 6/9 как пересечения трёх квадрик в ℙ⁵ и для каждой связанной поверхности указал эллиптическое расслоение, дающее однопараметрическое бесконечное семейство. Для одной конфигурации он доказал, что поверхность является гладкой K3, нашёл особые слои с паспортом 4I₄+4I₂ и вычислил ранг 2 над полем функций и ранг 20 решётки Нерона—Севери. Настоящий атлас приводит явные модели и доказанные характеристики всех шестнадцати масок; для двух параллельных масок дополнительно получена полная tfmn-классификация невырожденных рациональных решений.

3.3. Магические, чарующие и полумагические квадраты

Произведение двух магических квадратов 3×3 обычно уже не является магическим, но остаётся полумагическим: суммы во всех строках и столбцах равны. Такие произведения образуют выделенный трёхмерный класс, который мы называем чарующими квадратами. Магические и чарующие квадраты чередуются при умножении: произведение двух магических квадратов чарующее, произведение магического и чарующего — магическое, а произведение двух чарующих — чарующее.

После отделения общего скалярного компонента эти два класса задают чётную и нечётную части пятимерной ассоциативной алгебры полумагических матриц. Для этой алгебры получены явные формулы определителя, присоединённой матрицы и характеристического многочлена.

Более того, над рациональными числами каждый полумагический квадрат 3×3 допускает явное разложение в сумму магического квадрата и произведения двух магических квадратов:

S(E,x,y,z,w)=M(E,x,y)+M(0,1,0)M(0,z,−w).S(E,x,y,z,w)=M(E,x,y)+M(0,1,0)M(0,z,-w).

Второе слагаемое является чарующим квадратом C(0,z,w). Поэтому магические и чарующие квадраты не только порождают всё пятимерное пространство линейными комбинациями: для каждого его элемента разложение выписывается непосредственно.

3.4. Конгруумы и поверхность F4+

Три квадрата в арифметической прогрессии определяют прямоугольный треугольник, площадь которого равна шагу прогрессии. Поэтому часть задачи о магических квадратах связана с классической задачей о конгруэнтных числах. Если положить F(a,b)=ab(a²−b²), то значения F, отличающиеся на рациональный квадрат, соответствуют одному классу этой задачи.

F(a,b)=ρ2F(a,d)F(a,b)=\rho^2F(a,d)

В проекте введена полная F4+-модель пар пифагоровых площадей, отличающихся на рациональный квадрат. Её вспомогательная рациональная эллиптическая поверхность имеет точный ранг 2, а две пифагоровы параметризации задают две независимые точки на универсальной кривой конгруэнтного числа над полем функций F4+. Следовательно, эта кривая имеет ранг не меньше 2. Конструкция даёт единый способ получать тождества между конгруумами и связанные с ними семейства магических квадратов, в том числе некоторые семейства 6/9.