Теория
Оглавление теории
Материал разделён на самостоятельные циклы. Основная линия идёт от линейной формы к арифметике и частичным квадратным конфигурациям; алгебра матричного умножения развивается параллельно.
Основы
Определения, полная линейная классификация и постановка основной диофантовой задачи.
Арифметические ограничения
Локальные сравнения, суммы двух квадратов и ограничения на простые делители.
Вычеты и квадратичные вычеты
Сравнение квадратов через координаты, ограничения по модулям 3, 4, 5 и 24 и применение символа Лежандра к простым делителям клеток.
Простые делители минимального квадрата 9/9
Гауссовы разложения суммы двух квадратов, факторизация центрального корня и ограничения на простые делители остальных восьми корней.
Частичные квадратные конфигурации
От классификации масок 4/9 и 5/9 к прогрессиям квадратов, конфигурациям 6/9 и методу tfmn.
Общая теория масок 4/9 и 5/9
Орбиты D₄, исключение E,x,y, квадратичные системы, цветовые опоры и критерии полноты параметризаций.
ABCDG: глобально полный алгоритм
Вся рациональная поверхность раскладывается в гладкие коники над P¹; точное решение слоёв, проекция и честный совместный перебор дают полный алгоритм с явным обратным ходом.
Арифметические прогрессии квадратов и dir-функция
Полная рациональная и целочисленная параметризация трёх квадратов в прогрессии, восемь линий магического квадрата и нормированный шаг dir(m,n).
Маски 6/9: шестнадцать позиционных типов
Доказательство числа орбит, три независимые квадрики каждой маски, восемь прогрессий магического квадрата и точная граница двух параллельных tfmn-классов.
fmn и tfmn в задаче 6/9
Две параллельные прогрессии в 6/9, функция f, свободная от квадратов часть tf, критерий согласования шагов и эллиптическая кривая фиксированного tf.
Ранние семейства F1–F8
Полные элементарные параметризации F1–F4, тождество F7, четвертичный подъём F8 и точные границы устаревшей упрощённой классификации.
Маски 7/9: полный тригонометрический атлас
Восемь D₄-орбит, полный базис из четырёх квадрик для каждой маски и обратимая редукция каждой системы к одному уравнению на трёх рациональных углах.
Эллиптическая геометрия tfmn
Полные координатные описания совпадающих квадратных классов через рациональные точки эллиптических кривых и поверхностей.
Кривые рода 1, якобианы и эллиптические поверхности
Общий словарь цикла: якобианы квартик рода 1, слои и сечения, модели Вейерштрасса, типы Кодайры, рациональные и K3-поверхности, формула Шиоды—Тейта и три различных понятия ранга.
F7+: пары параметров и поверхность конгруэнтных чисел
Точная биекция между невырожденными проективными парами [m:n] фиксированного tf и нетривиальными рациональными точками y²=x³−T²x с точностью до знака y.
Целочисленные tfmn-формы: контейнеры, Куммер и групповой закон
Четыре контейнера как гармонический репер ранга два, их куммерова сигнатура, точные квадратные поправки при сложении, формулы удвоения и утроения и связь с матрицей Монски.
F4+: эллиптическая поверхность пар пифагоровых площадей
Полная нормализация совпадающих квадратных классов площадей, бирациональная модель Вейерштрасса, рациональная эллиптическая поверхность и её квадратичная K3-замена базы.
F7+ и F4+: генерация совпадений tf
F7+ превращает известные точки фиксированной кривой в пары параметров, а F4+ порождает сам квадратный класс вместе с двумя начальными точками; групповой закон продолжает их в решётку решений.
F9+: квадратичные подстановки и теорема сокращения
Полная классификация однородных квадратичных подстановок с точным полиномиальным сокращением, 204 невырожденные проективные ветви и остаточная квартика как точный критерий совпадения tf.
Эллиптические слои F9+
Базовая кривая y²=x³−2x, подлинные однопараметрические семейства, известные квадратичные слои и их вложение в F4+ с последующим переходом к F7+.
Далее основная линия возвращается к отдельным маскам 6/9: F-цикл уже даёт необходимый язык эллиптических кривых и поверхностей.
Эллиптические поверхности 6/9
Подробные выводы выбранных эллиптических карт для масок 6/9: от трёх квадратичных условий через квартики рода 1 или общую поверхность равных шагов к K3-геометрии и явным семействам решений.
ABCDEH: две прогрессии и K3-поверхность
Одновременная параметризация BEH и CDH, остаточная квартика, расщеплённый якобиан с конфигурацией 2I₄+8I₂ и доказанная граница ранга 2≤rank≤4.
ABCDEJ: общая вершина двух прогрессий
Склейка AEJ и BDJ, остаточная квартика, K3-поверхность 2I₄+8I₂, неторсионное сечение и явное полиномиальное семейство из 2P.
ABCDFH: две прогрессии и палиндромная квартика
Склейка AFH и CDH условием BDFH, расщеплённая K3-поверхность 2I₄+8I₂, точный сертификат неторсионности и явное полиномиальное семейство.
ABCDHJ: две прогрессии с общей клеткой D
Склейка BDJ и CDH условием ABHJ, палиндромная квартика, расщеплённая K3-поверхность 2I₄+8I₂ и выведенное касательной параболой неторсионное сечение.
ABCEGH и ABCEGJ: одна поверхность, два прочтения
Две маски с общим центром E приводят к одной квартике и одной расщеплённой K3-поверхности 2I₄+8I₂; две явные секции независимы, а одно полиномиальное семейство даёт решения обеих масок.
ABDEFH: три прогрессии квадратов
Две прогрессии с общим центром E и третья связь между их концами приводят к правильно твистованной квартике, расщеплённой K3-поверхности 4I₄+4I₂ и явному неторсионному семейству.
ABDEFJ: цепочка трёх прогрессий
Прогрессии DEF и AEJ с общим центром E, связанные прогрессией BJD, приводят к палиндромной квартике, расщеплённой K3-поверхности 4I₄+4I₂ и явному неторсионному семейству.
ABEFGH: треугольник попарных средних
Три попарные прогрессии сводятся к уравнению r(x)r(z)=r(y), обратному образу семейства Лежандра, K3-поверхности 4I₄+4I₂ и явному полиномиальному семейству.
ABCDEF: чётная квартика и поверхность 12I₂
Прогрессия DEF и две нормы на блоке CDE сводятся к чётной квартике, расщеплённой K3-поверхности 12I₂, неторсионной секции и явному полиномиальному семейству.
ABEFGJ и ABDFHJ: tfmn как общая Kummer–K3-поверхность
Параметризация двух параллельных прогрессий превращает жёлтую квадрику точно в равенство tf; обе маски линейно эквивалентны и задают поверхность Km(E×E) для E:y²=x³−x.
ABCDEG: две гауссовы склейки и поверхность 12I₂
Центральная прогрессия CEG и две жёлтые квадрики дают чётную квартику рода 1, расщеплённый K3-якобиан, неторсионную секцию и явное семейство степени 18.
ABCDFG: красная, жёлтая и голубая квадрики
Прогрессия BFG, гауссова норма и норма x²+2y² снова дают чётную квартику, расщеплённый K3-якобиан 12I₂, неторсионную секцию и семейство степени 18.
ABCDGJ: одна прогрессия и две гауссовы нормы
Прогрессия BDJ и две жёлтые нормы ACGJ/BCDG сводятся к чётной квартике, расщеплённому K3-якобиану 12I₂, неторсионной секции и явному семейству степени 18.
ABCGHJ: K3-поверхность без красной прогрессии
Две гауссовы нормы и голубая норма задают гладкое пересечение трёх квадрик, расщеплённое расслоение 4I₄+4I₂, неторсионную секцию и явное семейство степени 14.
Общая геометрия 6/9: расширенный атлас
Все 16 типов упорядочены по сложности условий и распределены между шестью комбинаторными группами и четырьмя модельными классами; статья объясняет лестницу геометрических рангов, родные секции и точный смысл аналогов F4+ и F9+.
Цикл покрывает все 16 позиционных типов 6/9 и завершён общей классификацией их K3-геометрии.
Алгебра матричного умножения
Самостоятельная ветвь о произведениях магических матриц и пятимерной алгебре полумагических квадратов.
Магические, чарующие и полумагические квадраты
Стандартные ассоциированные (associated) и центросимметрические (balanced) компоненты, четыре закона умножения, полная пятимерная форма и точные разложения.
Блочная структура и расщеплённые кватернионы
Изоморфизм SM₃(K)≅K⊕M₂(K), два центральных идемпотента, явный базис 1,i,j,k и точное отличие от кватернионов Гамильтона.
Далее: присоединённая матрица, спектр и точная структура целочисленной решётки.