Частичные квадратные конфигурации · 3.4

fmn и tfmn в задаче 6/9

Метод возникает при построении конфигураций 6/9 из двух параллельных прогрессий квадратов: их шаги должны совпасть. fmn и tfmn — названия связанных конструкций, а сами функции обозначаются f и tf. Значение f(m,n) задаёт четверть шага прогрессии, а tf(m,n)=t(f(m,n)) хранит ровно тот квадратный класс, который определяет возможность согласовать два шага.

1. От масок к задаче tfmn

Общая теория масок сначала классифицирует конфигурации 4/9 и 5/9 и переводит квадратность выбранных клеток в системы квадрик. Следующий уровень — 6/9. Среди его позиционных типов выделяются маски, являющиеся объединением двух непересекающихся арифметических прогрессий одного направления. С точностью до поворотов и отражений имеются два таких типа; их можно представить как

\underbrace{AEJ}_{\mathrm{AP}}\sqcup \underbrace{BFG}_{\mathrm{AP}}=ABEFGJ, \qquad \underbrace{AFH}_{\mathrm{AP}}\sqcup \underbrace{BDJ}_{\mathrm{AP}}=ABDFHJ.

В общей форме магического квадрата прогрессии внутри каждой пары параллельны и имеют один и тот же ориентированный шаг. Если первая прогрессия параметризована парой (m,n) и масштабом u, а вторая — парой (p,q) и масштабом v, то их шаги имеют вид

\Delta_1=4u^2f(m,n),\qquad \Delta_2=4v^2f(p,q).

Третья независимая квадрика каждой из этих двух масок утверждает ровно равенство ориентированных шагов. Поэтому после параметризации красных коник вся оставшаяся система состоит из одного уравнения

u^2f(m,n)=v^2f(p,q).

Оно разрешимо в ненулевых рациональных масштабах u,v ровно тогда, когда f(m,n) и f(p,q) принадлежат одному квадратному классу. Функция tf вводится именно как каноническая координата этого класса. Для ABEFGJ и ABDFHJ это условие не только необходимо, но и достаточно: после согласования шагов центры двух прогрессий непосредственно восстанавливают единственную тройку E,x,y.

Предшествующая теория масок 6/9 Полный вывод двух параллельных масок

2. Площадь и шаг прогрессии

Для ненулевых рациональных m,n положим

f(m,n)=mn(m^2-n^2) =mn(m-n)(m+n).

Эта форма возникает из классической параметризации пифагоровых троек:

(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2,\qquad \frac{(m^2-n^2)(2mn)}2=f(m,n).

При m>n>0 значение f(m,n) является площадью прямоугольного треугольника с катетами m²−n² и 2mn. Для произвольного порядка и знаков параметров f хранит также ориентацию.

Связь с арифметическими прогрессиями квадратов получается из тождеств

\begin{aligned} (m^2+n^2)^2-4f(m,n)&=(-m^2+2mn+n^2)^2,\\ (m^2+n^2)^2+4f(m,n)&=(m^2+2mn-n^2)^2. \end{aligned}

Следовательно, три выражения

V-4f(m,n),\qquad V,\qquad V+4f(m,n), \qquad V=(m^2+n^2)^2,

являются квадратами и образуют арифметическую прогрессию с ориентированным шагом 4f(m,n). Именно это тождество лежит в основе применения конструкции fmn к восьми прогрессиям магического квадрата.

3. Свободная от квадратов часть

Для рационального r∈ℚ× обозначим через t(r) свободную от квадратов часть r. Это единственное свободное от квадратов целое число того же знака, для которого

r=t(r)q^2,\qquad q\in\mathbb Q_{>0}.

Запишем рациональное число через его p-адические показатели:

r=\operatorname{sgn}(r)\prod_p p^{v_p(r)}, \qquad v_p(r)\in\mathbb Z,

то

t(r)=\operatorname{sgn}(r) \prod_{v_p(r)\ \mathrm{odd}}p.

Здесь нечётность имеет обычный смысл и для отрицательных показателей. После удаления из каждого vₚ(r) его остатка по модулю 2 все показатели становятся чётными, а оставшееся произведение является квадратом рационального числа. Единственность следует из того, что знак t(r) задан знаком r, а показатель каждого простого в квадратсвободном представителе может быть только 0 или 1 и обязан совпадать с vₚ(r) по модулю 2.

Для любой записи r=a/b с ненулевыми целыми a,b получается особенно простая формула:

t\!\left(\frac ab\right)=t(ab),

поскольку a/b=ab/b². Формула не зависит от выбора числителя и знаменателя: если a/b=c/d, то a/c=b/d, а потому ab/(cd)=(a/c)² — рациональный квадрат.

На языке квадратных классов это означает

t(A)=t(B) \iff \frac AB\in(\mathbb Q^\times)^2, \qquad A,B\in\mathbb Q^\times.

Таким образом, t(r) является каноническим целым представителем класса r в группе ℚ×/(ℚ×)².

Определение функции tf

\operatorname{tf}(m,n)=t\!\left(f(m,n)\right), \qquad m,n\in\mathbb Q,\quad f(m,n)\ne0.

Таким образом, tf(m,n) — свободная от квадратов часть f(m,n). При f(m,n)=0 прогрессия постоянна и tf не определяется.

4. tf(m,n) как конгруэнтное число

Пусть m>n>0 — целые числа и

f(m,n)=Tq^2,\qquad T=\operatorname{tf}(m,n)>0.

Разделим стороны соответствующего пифагорова треугольника на q:

A=\frac{m^2-n^2}{q},\qquad B=\frac{2mn}{q},\qquad H=\frac{m^2+n^2}{q}.

Получается рациональный прямоугольный треугольник площади

\frac{AB}{2}=\frac{mn(m^2-n^2)}{q^2}=T.

Следовательно, положительное значение tf(m,n) является свободной от квадратов частью площади и одновременно конгруэнтным числом. Различные пары (m,n) могут иметь одну и ту же свободную от квадратов часть и потому задавать одно и то же T.

5. Критерии равенства значений tf

Теорема

Пусть Fᵢ=f(mᵢ,nᵢ) — два ненулевых целых значения функции f и G=gcd(|F₁|,|F₂|). Следующие условия эквивалентны:

$t(F_1)=t(F_2)$ ;
$F_1/F_2$ является квадратом в ℚ;
$F_1F_2$ является положительным полным квадратом;
знаки F₁,F₂ совпадают, а $|F_1|/G$ и $|F_2|/G$ являются полными квадратами.

Доказательство

Запишем Fᵢ=Tᵢqᵢ², где Tᵢ=t(Fᵢ) — свободная от квадратов часть Fᵢ. Отношение F₁/F₂ является квадратом тогда и только тогда, когда совпадают знак и чётности показателей каждого простого, то есть T₁=T₂. Произведение F₁F₂ является положительным квадратом при том же условии.

Если T₁=T₂=T, то G=|T|gcd(q₁,q₂)², поэтому оба частных |Fᵢ|/G — квадраты. Обратно, квадратность этих двух частных и совпадение знаков делают их отношение F₁/F₂ рациональным квадратом. Тем самым все четыре условия эквивалентны.

6. Согласование масштабов прогрессий

Умножение всех трёх членов прогрессии квадратов на λ² сохраняет квадратность и умножает её шаг на λ². Поэтому для двух параметрических прогрессий со значениями F₁=f(m₁,n₁) и F₂=f(m₂,n₂) общий ориентированный шаг существует тогда и только тогда, когда найдутся ненулевые α,β∈ℚ такие, что

4\alpha^2F_1=4\beta^2F_2.

После сокращения это равенство совпадает со вторым условием предыдущей теоремы. Следовательно,

\operatorname{tf}(m_1,n_1)=\operatorname{tf}(m_2,n_2) \iff \text{прогрессии масштабируются до общего ориентированного шага}.

Конструктивно, если F₁=Tu² и F₂=Tv², первую прогрессию следует умножить на v², а вторую на u². Их шаги станут равны 4Tu²v². Это и есть арифметическое содержание равенства значений tf.

7. Симметрии параметров

Часть равенств значений tf возникает из замен параметров, которые не меняют квадратный класс или только обращают ориентацию прогрессии:

Замена	Изменение f	Смысл
$(m,n)\mapsto(\lambda m,\lambda n)$	$f\mapsto\lambda^4f$	общий масштаб параметров
$(m,n)\mapsto(-m,-n)$	$f\mapsto f$	одновременная смена знаков
$(m,n)\mapsto(n,m)$	$f\mapsto-f$	обращение прогрессии
$(m,n)\mapsto(m,-n)$	$f\mapsto-f$	обращение прогрессии
$(m,n)\mapsto(m+n,m-n)$	$f\mapsto4f$	та же нормированная прогрессия

Последняя строка непосредственно следует из факторизации f(a,b)=ab(a+b)(a−b):

\begin{aligned} f(m+n,m-n) &=(m+n)(m-n)\cdot2m\cdot2n\\ &=4f(m,n). \end{aligned}

Средний квадрат V=(m²+n²)² при той же замене также умножается на 4. Поэтому отношение 4f/V, то есть dir, не меняется. Поскольку множитель 4 является квадратом, значение tf также сохраняется. При классификации неориентированных прогрессий дополнительно отождествляются противоположные знаки tf.

8. Саморекурсия функции tf

Одна прогрессия квадратов сама задаёт новую пару параметров. Положим

V=(m^2+n^2)^2,\qquad D=4f(m,n).

Если r=−m²+2mn+n², s=m²+n² и w=m²+2mn−n², то V=s², V−D=r² и V+D=w². Поэтому

\begin{aligned} f(V,D) &=VD(V^2-D^2)\\ &=s^2\cdot4f(m,n)\cdot r^2w^2\\ &=f(m,n)(2srw)^2. \end{aligned}

Отношение f(V,D)/f(m,n) является квадратом, и теорема о квадратных классах даёт тождество

\operatorname{tf}(m,n) = \operatorname{tf}\!\left((m^2+n^2)^2,\;4f(m,n)\right).

9. От фиксированного tf к F7+

Фиксированное положительное значение T=tf(m,n) задаёт конгруэнтную эллиптическую кривую

E_T:\quad y^2=x^3-T^2x.

Это не только источник примеров. После проективного отождествления общего масштаба пары существует точная биекция между всеми невырожденными рациональными парами фиксированного квадратного класса и нетривиальными рациональными точками E_T с точностью до знака y. Отдельная статья F7+ выводит оба отображения, доказывает их взаимную обратность и описывает точную вырожденную границу.

F7+: полная биекция →

10. Что остаётся от задачи 6/9

Для двух параллельных классов 6/9 равенство значений tf полностью решает систему выбранных квадратных клеток. В ABEFGJ центры двух прогрессий занимают E и G; в ABDFHJ они занимают A и J. После выбора общего шага эти два центра дают E,x,y линейными формулами, поэтому дополнительных алгебраических условий размещения нет.

Ограничение метода находится в другом месте. Равенство tf не гарантирует положительность всех девяти клеток, их попарное различие и отсутствие дополнительных квадратов в трёх невыбранных позициях. Кроме того, для остальных четырнадцати позиционных типов красные прогрессии пересекаются либо отсутствуют, и их три квадрики уже не сводятся к одному сравнению шагов.

Общая Kummer-поверхность масок →Генерация совпадений tf →Полная биекция F7+Ранняя классификация