ABCDG: 5 квадратные клетки в магическом квадрате 3×3

Семейство ABCDG

Теорема и полное доказательство

Утверждение

При указанных ниже условиях формулы задают целочисленный магический квадрат порядка 3, в котором как минимум все 5 клетки маски ABCDG являются квадратами целых чисел. Квадратность остальных клеток не запрещается.

\{A,B,C,D,G\}\subseteq\{P:\mathcal M_P(E,x,y)=r_P^2\}

Параметры a, b, c, d — произвольные целые числа. Все вводимые ниже корни поэтому целочисленны.

Исходная система и исключение E, x, y

Для каждой отмеченной клетки вводим целый корень и подставляем соответствующую линейную форму Magic3. Получаем систему:

\left\{\begin{aligned}E+x&=q_A^2,\\E-x+y&=q_B^2,\\E-y&=q_C^2,\\E-x-y&=q_D^2,\\E+y&=q_G^2.\end{aligned}\right.

Матрица коэффициентов при E, x, y имеет ранг 3. Поэтому после их исключения остаётся 2 независимых однородных квадратичных уравнения на корнях. Ниже они выводятся и одновременно параметризуются.

Вывод параметризации корней

Введём следующие вспомогательные целые величины:

r=-a^2+2ab+b^2,\quad s=a^2+b^2,\quad u=a^2+2ab-b^2,\quad r^2+u^2=2s^2

K=2r^2-s^2,\qquad P=Kc^2-d^2,\qquad Q=2ucd

\alpha=u(Kc^2+d^2),\quad\beta=Pr-Qs,\quad\gamma=Ps+Qr,\quad\delta=Pr+Qs,\quad\eta=Qr-Ps

E=P^2s^2+Q^2r^2

Значения заявленных клеток определим как явные квадраты:

(A,B,C,D,G)=(\alpha^2,\beta^2,\gamma^2,\delta^2,\eta^2)

Жёлтая связь получается двумя гауссовыми поворотами. Для коричневой связи остаток квадрики последовательно сводится к квадрату α²; ниже выписано полное сокращение. Последняя формула одновременно доказывает, что выбранный E восстанавливает C и G без деления.

\beta^2+\gamma^2=\delta^2+\eta^2=(P^2+Q^2)(r^2+s^2)

\gamma^2+3\eta^2-2\beta^2=2\left[P^2(2s^2-r^2)+Q^2(2r^2-s^2)\right]

2s^2-r^2=u^2,\qquad 2r^2-s^2=K

u^2P^2+KQ^2=u^2(Kc^2+d^2)^2=\alpha^2

2A+2B=C+3G,\qquad B+C=D+G

C+G=\gamma^2+\eta^2=2(P^2s^2+Q^2r^2)=2E

Красная вспомогательная коника вводит r, s, u. После подстановки в коричневую квадрику коэффициент при второй паре сворачивается в K=2r²−s². Пара P=Kc²−d², Q=2ucd параметризует полученную взвешенную конику; два гауссовых поворота дают β, γ, δ, η. Последовательность равенств ниже решает обе квадрики и одновременно восстанавливает центр E без деления.

Восстановление магического квадрата

Используем стандартную трёхкоординатную форму:

\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Положим координаты равными следующей линейной комбинации уже построенных квадратных значений:

(E,x,y)=(E,\,A-E,\,G-E)

Общая линейная лемма используется здесь прямо: если матрица выбранных клеточных форм имеет ранг 3, то вектор их значений принадлежит её образу тогда и только тогда, когда обращаются в нуль все элементы левого ядра. Для четырёх клеток левое ядро одномерно, для пяти — двумерно. Выписанные выше цветовые тождества образуют именно этот базис, а указанные формулы E, x, y дают единственный прообраз.

L_S(E,x,y)^T=(q_P^2)_{P\in S},\qquad \ker L_S^T=\langle R_1,\ldots,R_{2}\rangle

Теперь подставляем координаты в девять линейных форм Magic3. Поэтому

\pi_{ABCDG}\!\left(\mathcal M(E,x,y)\right)=(A,B,C,D,G)\in\{n^2:n\in\mathbb Z\}^{5}

Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали имеют сумму 3E по самой форме Magic3. Следовательно, получена требуемая семья магических квадратов с квадратной маской ABCDG. Что и требовалось доказать.

Цветовые леммы, применённые в этом доказательстве

Жёлтое равенство двух сумм

B+C=D+G

Жёлтая четвёрка получается из композиции гауссовой нормы и даёт равенство двух попарных сумм клеток.

u=ac+bd,\quad v=ad-bc,\quad w=ac-bd,\quad z=ad+bc

u^2+v^2=w^2+z^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

(U,V,W,Z)=(u^2,v^2,w^2,z^2)\Longrightarrow U+V=W+Z

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками B, C, D, G; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Коричневая взвешенная коника

2A+2B=C+3G

Коричневая четвёрка ABCG подчиняется отдельному взвешенному соотношению; в семействе ABCDG оно совмещено с жёлтой нормой.

2A+2B=C+3G

A=a^2,\quad B=b^2,\quad C=c^2,\quad G=g^2

2a^2+2b^2-c^2-3g^2=0

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками A, B, C, G; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Глобально полный алгоритм ABCDG

Полиномиальная формула предыдущего раздела строит явное бесконечное подсемейство. Для перечисления всех рациональных решений используется другое представление той же поверхности — коническое расслоение над проективной прямой.

1. Глобальная база

Пусть a,b,c,d,g — рациональные знаковые корни клеток A,B,C,D,G. Две клеточные связи имеют вид

b^2+c^2=d^2+g^2,\qquad 2a^2+2b^2=c^2+3g^2.

Первая квадрика равносильна det M=0 для следующей матрицы. В проективной точке M не может быть нулевой: тогда b=c=d=g=0, а вторая квадрика даёт a=0. Поэтому M всюду имеет ранг один и единственное рациональное направление строк [r:s].

M=\begin{pmatrix}b+d&c+g\\c-g&d-b\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}rP&rQ\\sP&sQ\end{pmatrix}.

Соответствующие координаты слоя P,Q восстанавливают все четыре корня жёлтой квадрики:

\begin{aligned} b&=rP-sQ,&c&=sP+rQ,\\ d&=rP+sQ,&g&=rQ-sP. \end{aligned}

После подстановки вторая квадрика становится коникой слоя

C_{r,s}:\quad a^2=(2s^2-r^2)P^2+(2r^2-s^2)Q^2.

2. Точное решение каждого слоя

Для примитивного представителя [r:s] оба коэффициента коники ненулевые: их зануление потребовало бы рационального числа √2. Поэтому каждый слой — гладкая проективная коника. Рациональная разрешимость тернарной квадратичной формы над Q алгоритмически разрешима. Реализация либо получает рациональную точку O, либо точное локальное препятствие; пустой слой пропускается только во втором случае.

Пусть F(X)=x²−(2s²−r²)y²−(2r²−s²)z² и B — связанная с F билинейная форма. Выберем координату j с Oⱼ≠0 и вектор U на прямой Uⱼ=0. Тогда

X=-F(U)O+2B(O,U)U,\qquad F(X)=F(U)^2F(O)=0.

Точки [m:n] проективной прямой задают все направления U. Обратно, для X≠O берётся U=OⱼX−XⱼO; единственное касательное направление возвращает X=O. Следовательно, формула параметризует весь разрешимый слой, а не только открытую карту.

3. Полный и честный перебор

Проективные пары перечисляются примитивными целыми представителями по высоте h([x:y])=max(|x|,|y|). Обычный вложенный цикл навсегда остался бы на первом бесконечном слое, поэтому высоты базы и параметра слоя объединяются:

h([r:s])+h([m:n])-1=H.

На шаге H обрабатываются все пары с этой суммой высот. Поэтому каждая пара рациональных параметров и каждая рациональная точка поверхности появляются после конечного числа шагов. Результат нормализуется до примитивного знакового проективного целого вектора.

4. Явный обратный ход

Для заданной ненулевой точки направление базы извлекается из ненулевого столбца M:

[r:s]= \begin{cases} [b+d:c-g],&(b+d,c-g)\ne(0,0),\\ [c+g:d-b],&\text{иначе}. \end{cases}

После канонической нормализации [r:s] координаты слоя равны

(P,Q)= \begin{cases} \left(\dfrac{b+d}{2r},\dfrac{c+g}{2r}\right),&r\ne0,\\[6pt] \left(\dfrac{c-g}{2s},\dfrac{d-b}{2s}\right),&r=0. \end{cases}

Обратная проекция на найденной конике затем восстанавливает [m:n]. Это конечная конструкция для любой рациональной точки и потому является конструктивным доказательством сюръективности.

5. Переход к магическим квадратам и границы теоремы

Из конечного набора знаковых подъёмов оставляется представитель с неотрицательными корнями. Остальные четыре клетки восстанавливаются линейно; при необходимости умножение корней на 2 очищает знаменатель и умножает все клетки на 4. Положительность, попарная различность и условие «квадратны ровно ABCDG» проверяются точными фильтрами. Поэтому отфильтрованный перебор достигает каждого нормального точного квадрата ABCDG и не выдаёт посторонних квадратов.

Результат устанавливает глобальную алгоритмическую полноту. Он не даёт одной сюръективной рациональной формулы, конечного рационального атласа или оптимального перечисления по высоте.

Полнота покрытия

Статус: полное покрытие. Здесь полнота относится к рациональным векторам корней; целые представители получаются очисткой знаменателей и общим масштабированием.

Максимально широкое гарантированное подмножество

Все рациональные знаковые векторы корней (a,b,c,d,g), удовлетворяющие двум квадрикам ABCDG, включая нулевой вектор. Полнота достигается эффективным алгоритмом по коническому расслоению; выписанная выше полиномиальная формула остаётся удобным подсемейством этого полного множества.

b^2+c^2=d^2+g^2,\qquad 2a^2+2b^2=c^2+3g^2

\begin{pmatrix}b+d&c+g\\c-g&d-b\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}rP&rQ\\sP&sQ\end{pmatrix}

a^2=(2s^2-r^2)P^2+(2r^2-s^2)Q^2

h([r:s])+h([m:n])-1=H

Обратный ход

Для ненулевой точки матрица имеет ранг один и единственное рациональное направление строк [r:s]. Оно восстанавливается как [b+d:c−g], если первый столбец ненулевой, и как [c+g:d−b] иначе. Затем P,Q находятся линейно, а обратная проекция на соответствующей конике возвращает единственный параметр [m:n]. Поэтому у каждой рациональной точки имеется конечный явный обратный ход.

Что остаётся вне гарантии

Рациональных точек вне алгоритма нет. Базы с пустой коникой пропускаются только после точного решения локально-глобальной задачи для тернарной квадратичной формы. Теорема не утверждает существование одной сюръективной рациональной формулы, конечного рационального атласа или оптимального порядка по высоте.

\operatorname{Exc}(\mathcal A_{ABCDG})=\varnothing

Глобальная полнота ABCDG доказана в эффективном алгоритмическом смысле: корректность, сюръективность и конечная достижимость каждой рациональной точки установлены отдельно.

Текст согласован с универсальным полиномиальным сертификатом proof-core.yellow_brown_abcdg_square_mask